M/M/1待ち行列モデル
客がランダムに到着し、処理時間もランダムで、窓口が1つの待ち行列のモデル。窓口の利用率を ρ、平均サービス時間を Ts とすると、平均待ち時間は ρ ÷（1 − ρ）× Ts で求められる。
イマシルちゃんの解説
レジが1つしかないお店を思い浮かべてみて。
お客さんは、いつ来るかバラバラで、会計にかかる時間もバラバラだよね。
お店が空いているときは、すぐに会計できるけど、
レジが忙しくなってくると、行列がどんどん長くなっていくんだ。
しかも、ほとんどフル稼働に近づくと、待ち時間が急にびっくりするくらい長くなるんだよ。
より深い解説
ケンドール記号
待ち行列のモデルは、「到着の分布／サービス時間の分布／窓口の数」で表す。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| M | ランダム（到着はポアソン分布、サービス時間は指数分布に従う） |
| D | 一定（決まった時間） |
| G | 一般の分布 |
M/M/1 は、到着がランダム、サービス時間が指数分布、窓口が1つのモデルである。
公式
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| λ | 平均到着率（単位時間あたりに来る客の数） |
| Ts | 平均サービス時間（1人の処理にかかる時間） |
| ρ | 利用率（窓口が使われている割合）＝ λ × Ts |
| 求めるもの | 式 |
|---|---|
| 平均待ち時間 Tw | ρ ÷（1 − ρ）× Ts |
| 平均応答時間（待ち時間＋サービス時間） | Tw ＋ Ts ＝ Ts ÷（1 − ρ） |
| 平均待ち行列長（待っている客の数） | ρ² ÷（1 − ρ） |
ρ が1に近づくと、1 − ρ が0に近づくため、待ち時間は急激に長くなる。ρ が1以上だと、行列は限りなく伸び続ける。
計算例
ある窓口に、1時間あたり平均10件の処理要求が来る。1件の処理には平均3分かかる。
- Ts ＝ 3分、λ ＝ 10件 ÷ 60分 ＝ 1/6件/分
- ρ ＝ λ × Ts ＝ 1/6 × 3 ＝ 0.5
- 平均待ち時間 ＝ 0.5 ÷（1 − 0.5）× 3 ＝ 3分
- 要求してから処理が終わるまでの平均時間 ＝ 3 ＋ 3 ＝ 6分
時間の単位（秒、分、時間）をそろえてから計算するのがポイントである。処理時間が「データ量 ÷ 処理速度」で与えられるときは、まず Ts を求める。
ネットワークでの使い道
ルータの出力の待ち行列、サーバへの要求の処理、プリンタの印刷の待ちなど、「1つの処理装置に、ランダムに仕事が届く」場面の、遅延の見積もりに使う。回線の利用率が高くなると遅延が急に増えるため、利用率に余裕を持たせて設計する。